In deze post wat theorie, met als belangrijkste reden:
omdat het nu kan! Die nieuwe mogelijkheid moet ik natuurlijk even serieus uitproberen. Ook is het wel fijn om voor mezelf de boel even op een rij te zetten.
Thiele & Small modelleerden de luidspreker als een gedempt massa-veer systeem. Zo'n systeem bestaat uit drie delen: een massa (met mechanische traagheid [LaTeX]M_m[/LaTeX]), een veer (met mechanische sterkte [LaTeX]K[/LaTeX]), en een demper (met mechanische weerstand [LaTeX]R_m[/LaTeX]). Die onderdelen gedragen zich als volgt:
- De veer wijkt evenredig uit aan de kracht die erop wordt uitgeoefend: [LaTeX]F=K_m \cdot x[/LaTeX]
- Om de demper te bewegen is een kracht evenredig aan de snelheid nodig: [LaTeX]F=R_m\cdot v=R_m\cdot\frac{dx}{dt}[/LaTeX]
- De massa versnelt evenredig aan de kracht die er op wordt uitgeoefend: [LaTeX]F=M_m\cdot a=M_m\cdot\frac{d^2 x}{dt^2}[/LaTeX]
Als je op zo'n systeem een externe kracht uitoefent, wordt die kracht verdeeld over de veer, de demper en de massa. Oftewel, de totale kracht [LaTeX]F_{ext}[/LaTeX] is gelijk aan de som van de drie afzonderlijke krachten:
(1): [LaTeX]
F_{ext}=K_m x+R_m\frac{dx}{dt}+M_m\frac{d^2 x}{dt^2}
[/LaTeX]
Bij een luidspreker wordt die externe kracht opgebracht door de spreekspoel. De kracht evenredig is aan de stroom [LaTeX]I[/LaTeX] die er doorheen loopt:
(2): [LaTeX]
F_{ext}=BL\cdot I
[/LaTeX]
Hierin is [LaTeX]B[/LaTeX] de gemiddelde mangeetveldsterkte die de spreekspoel ziet, en [LaTeX]L[/LaTeX] de lengte draad die in dat magneetveld zit. Dit is de BL waarde die je in de datasheets van een speaker vind. Het is de evenredigheidsconstante tussen de stroom die door de spreekspoel loopt, en de mechanische kracht die de spoel uitoefent.
Andersom wekt de spreekspoel een inductiespanning op, die afhankelijk is van de snelheid van de spreekspoel:
(3): [LaTeX]
U_{ind}=BL\frac{dx}{dt}
[/LaTeX]
Ik gebruik [LaTeX]U[/LaTeX] en [LaTeX]u(t)[/LaTeX]voor de spanning omdat [LaTeX]v[/LaTeX] de snelheid voorstelt, om verwarring te voorkomen. Met deze twee samen en een simpele voorstelling van de spreekspoel met DC weerstand [LaTeX]R_e[/LaTeX] en inductie [LaTeX]L_e[/LaTeX] kan je nu schrijven:
(4): [LaTeX]
\begin{cases}
BL\cdot i(t)=K_m x+R_m\frac{dx}{dt}+M_m\frac{d^2 x}{dt^2} \\
u(t)=R_e\cdot i(t)+L_e\cdot\frac{di(t)}{dt}+BL\cdot v(t)
\end{cases}
[/LaTeX]
Dit geeft aan waarom de Bl waarde een centrale rol speelt in een luidspreker: het is de parameter die de mate van koppeling tussen het elektrische en mechanische domein weergeeft. De ene kant op veroorzaakt een elektrische stroom een mechanische kracht, de andere kant op veroorzaakt mechanische snelheid een elektrische inductiespanning. Kijken we nu wat meer naar de spreekspoel, dan zie je dat die is gewikkeld uit dun koperdraad, en daardoor een niet te verwaarlozen elektrische weerstand [LaTeX]R_e[/LaTeX] heeft. Ook heeft het ding een bepaalde zelfinductie [LaTeX]L_e[/LaTeX] want het is tenslotte een spoel, maar daarvan is meestal de invloed rond de resonantiefrequentie te verwaarlozen. De spreekspoel gedraagt zich dus als een transformator tussen het elektrische en het mechanische domein. Je kan nu een schemaatje tekenen waarop al deze aspecten samen komen en waarop te zien is hoe de mechanische parameters "transformeren" naar het elektrische domein (schaamteloos gejat van de
audiojudgement site):
Hierin is [LaTeX]C_m[/LaTeX] de compliantie of toegeeflijkheid, het omgekeerde van de sterkte: [LaTeX]C_m = 1/K_m[/LaTeX]. De resonantiefrequentie [LaTeX]f_s[/LaTeX] wordt gegeven door:
(5): [LaTeX]
f_s=\frac{1}{2\pi\sqrt{C_m M_m}}
[/LaTeX]
In de onderste helft van de figuur kan je zien waarom één impedantiemeting niet genoeg is om de mechanische parameters te bepalen: er zijn vier circuit elementen die het impedantieverloop volledig vastleggen, maar vijf parameters. Ik heb dus extra informatie nodig om alle vijf parameters vast te kunnen leggen. Die kan ik op twee manieren verkrijgen:
- De "klassieke methode", waarbij een extra massa aan de conus wordt toegevoegd en het impedantieverloop een tweede keer wordt gemeten. De waarde van [LaTeX]M_m[/LaTeX] is dan te bepalen uit de verschuiving van de resonantiefrequentie met vergelijking (4).
- Direct meten wat de luidspreker in met mechanische domein doet om zo de BL waarde te bepalen aan de hand van de inductiespanning rond resonantie. De overige parameters laten zich daarna eenvoudig uitrekenen.
In mijn openingspost heb ik al aangegeven waarom ik de voorkeur geef aan de tweede optie.
Dit is, in een notendop, de basis van waaruit Thiele & Small begin jaren '70 zijn gaan werken. Het basisschema is steeds verder uitgebreid, eerst met een gesloten behuizing (simpelweg een veer parallel aan de ophanging) en daarna met complexere zalen zoals reflexboxen. Hierbij zijn alle afzonderlijke elementen (massa's, veren en dempers) allemaal voorgesteld als elektrische condensatoren, spoelen en weerstanden en de overgangen tussen de domeinen (elektrisch, mechanisch, akoestisch) als transformatoren. Deze aanpak heeft een belangrijk voordeel: je kan op deze manier de frequentierespons doorrekenen met elektrische filtertheorie, en voorspellen met (de toen nog in de kinderschoenen staande) circuitsimulators op de computer in gevallen waarbij een exacte analytische oplossing niet te vinden is. Dit is wat programma's zoals WinISD ook nu nog doen.
Tegelijkertijd wordt de beperking ook snel duidelijk: deze aanpak verliest zijn nauwkeurigheid zodra de bewegingen van de luidspreker zodanig zijn dat de aanname van lineaire elementen niet meer opgaat. Ook laten de diverse delen van een luidspreker zich niet perfect voorstellen door deze eenvoudige elementen, met name de ophanging van een driver gedraagt zich (ook bij klein signaal) een stuk complexer dan een simpele veer. Meten van die complexe aspecten bestaat dus uit twee delen:
- Een gepaste fysieke meetmethode.
- Een gepaste manier om het gedrag van de componenten te modelleren en weer te geven.
Het is belangrijk om te beseffen dat de methode die Klippel hanteert voor puntje 2 geen nieuw model is, maar een voortzetting van het werk van T&S waarbij wordt gekeken wat er gebeurt als de door T&S constant veronderstelde parameters ineens variabel blijken te zijn. Het is dus een belangrijke verfijning/verbetering van het T&S model, maar nog steeds dat: een abstract (en dus onvolledig) model van de fysieke werkelijkheid. In een volgende post beschrijf ik hoe daarmee omgegaan kan worden.
