Het antwoord op de veelgestelde vraag wat er nou gebeurt als je meer dan 1 driver gebruikt.

Inhoud:

1. Wat gebeurt er met de geluidsdruk als je drivers parallel of in serie schakelt?
2. Waarom stijgt het rendement met 3dB voor twee drivers
3. Wat is de begrenzing in deze stijging van het rendement als er steeds meer drivers worden gebruikt?
Appendix: Geluidsdruk in dB bij 1W akoestisch vermogen op 1m afstand

1. Wat gebeurt er met de geluidsdruk als je drivers parallel of in serie schakelt? 

Als je twee drivers in serie zet, zullen ze even hard spelen als de enkele driver, maar je moet er in je passieve filter rekening mee houden dat de impedantie verdubbeld is. Je past dit toe als je zowel je drivers als je versterker minder hard wilt laten werken, maar niet geïnteresseerd bent in grotere geluidsdruk.
Je versterker levert nu de halve stroom en dus het halve vermogen, elke driver krijgt individueel nog slechts een kwart van het vermogen. Omdat de geluidsdruk hetzelfde is gebleven is het rendement verdubbeld (+3dB).

Als je twee drivers parallel zet, neemt de geluidsdruk toe met 6dB, maar houd er dan wel rekening mee dat je versterker het dubbele vermogen moet leveren omdat de impedantie is gehalveerd.
De geluidsdruk stijgt dus met 6dB, terwijl de versterker 3dB extra moet leveren. Ook in deze situatie verdubbelt het rendement (+3dB).

Als je vier drivers in een combinatie van serie en parallel schakelt, zodat de totale impedantie gelijk blijft, heb je 6dB toename in geluidsdruk, terwijl je versterker even hard moet werken en elke driver maar de halve uitslag hoeft te maken. Dat is natuurlijk een geweldige winst maar het kost je het nodige aan drivers.
Met vier drivers is het rendement dus 6dB groter geworden.

2. Waarom stijgt het rendement met 3dB voor twee drivers

Om dit uit te leggen is het nodige formulewerk nodig, zodat de relatie tussen het oppervlak van de drivers en het akoestisch vermogen duidelijk wordt.

Definitie van akoestisch vermogen en de analogie met elektrisch vermogen

Het reële elektrische vermogen (P_e) kan als volgt worden geschreven als functie van spanning (V), stroom (I) en weerstand (R):

P_e = V·I = V·(V/R) = (R·I)·I = V²/R = I²R

Het akoestische vermogen (P_ak) kan analoog hieraan worden geschreven als functie van geluidsdruk (p), snelheid van de luchtdeeltjes (v), de akoestische impedantie (Z) en het oppervlak waarover je het vermogen berekent (A).

P_ak = p·v·A = p·(p/Z)·A = (Z·v)·v·A = p²·A/Z = v²·Z·A

Als de formule voor het akoestische vermogen wordt herschreven met behulp van de specifieke akoestische impedantie z = Z·A, gaat hij nog meer lijken op die voor het elektrische vermogen.

 Dan is P_e = I²R, terwijl P_ak = v²z

Het akoestische vermogen van een geluidsbron

Het akoestische vermogen van een geluidsbron is het vermogen dat de geluidsbron afgeeft aan het medium. Om dat te berekenen moeten we uitgaan van het reële deel van de specifieke akoestische impedantie z, we noemen dit de stralingsweerstand (r_s).

De formule P_ak = v²z wordt dan herschreven tot P_ak = v²r_s

Voor een vlak golffront, denk daarbij aan een gebundelde geluidsgolf zoals afgegeven door de conus van een driver bij hoge frequenties, is de specifieke akoestische impedantie per definitie reëel en wordt de stralingsweerstand vanuit z = Z·A herschreven tot

r_s = Z·S, waarbij S het oppervlak van het golffront is.

Voor een bolvormige geluidsbron, die uniform in alle richtingen afstraalt, wordt de stralingsweerstand niet meer gegeven door de eenvoudige formule r_s = Z·S, maar door

r_s = Z·S/(1+(λ/2πr)²), waarbij λ de golflengte is, S het oppervlak van de bol en r de straal.

Als de golflengte van het geluid veel groter is dan de bron, dan geldt

r_s ≈ Z·S·(2πr/λ)² = Z·S·4π²r²/λ² = Z·S²·π/λ²

Het akoestische vermogen P_ak = v²r_s kan dan worden herschreven tot

P_ak = v²·Z·S²·π/λ²

We zien nu dat het akoestische vermogen evenredig is met het oppervlak in het kwadraat (S²), indien de golflengte van het geluid veel groter is dan de bron (bij lage frequenties dus, beneden 343Hz is de golflengte groter dan 1m).

Met behulp van de formule P_ak = v²·Z·S²·π/λ² is nu eenvoudig in te zien dat het akoestische vermogen verviervoudigt als je twee drivers in fase aanstuurt en ze dicht bij elkaar plaatst. Het is namelijk zo dat de vorm van de bron niet meer uitmaakt als de golflengte veel groter is dan de bron. De twee drivers gedragen zich dan hetzelfde als een bolvormige geluidsbron met een tweemaal zo groot oppervlak.

Een verviervoudiging van het akoestische vermogen betekent logaritmisch gezien

10log₁₀(4) = +6dB.

Hier zien we de verklaring voor de 6dB toename van de geluidsdruk als twee woofers parallel worden geschakeld en voor het gelijk blijven van de geluidsdruk als twee woofers in serie worden geschakeld terwijl ze dan ieder nog maar een kwart van het elektrische vermogen krijgen.

Gevoelsmatig is dit een vreemd fenomeen. Je zet twee drivers bij elkaar in de buurt en het gevolg is niet dat het akoestische vermogen verdubbelt, maar in plaats daarvan verviervoudigt! We zien in het formulewerk dat de verklaring hiervoor zit in de stralingsweerstand, die niet recht evenredig maar kwadratisch evenredig is met het oppervlak van de bron.

Conclusie

Indien het samenstel van drivers klein blijft ten opzichte van de golflengte, zal bij elke verdubbeling van het aantal drivers, die ieder een bepaald elektrisch vermogen toegediend krijgen, het elektrische vermogen ook verdubbelen maar het akoestische vermogen verviervoudigen. Het rendement (de verhouding tussen het akoestische vermogen en het elektrische vermogen) wordt dus bij elke verdubbeling tweemaal zo groot, dat is logaritmisch gezien +3dB. Met vier drivers stijgt het rendement dan 6dB en met acht drivers 9dB.

3. Wat is de begrenzing in deze stijging van het rendement als er steeds meer drivers worden gebruikt?

Om te verklaren waarom het rendement niet eindeloos blijft stijgen, gaan we terug naar de volledige formule voor de stralingsweerstand van een akoestische bolvormige geluidsbron.

 r_s = Z·S/(1+(λ/2πr)²), waarbij λ de golflengte is en r de straal van de bol

Omdat de straal van de bol en zijn oppervlak direct samenhangen, kan dit ook worden geschreven als

 r_s = Z·S/(1+(λ/2πr)²) = Z·S/(1+λ²/4π²r²) = Z·S/(1+λ²/(πS))

Als er steeds meer drivers worden gebruikt, dan begint de verhouding λ²/(πS) steeds kleiner te worden. Als de geluidsbron erg groot wordt, dan gaat uiteindelijk de formule voor de stralingsweerstand er als volgt uitzien:

 r_s = Z·S

Dit is hetzelfde als de stralingsweerstand van een vlak golffront! Het akoestische vermogen wordt gegeven door

 P_ak = v²·Z·S

De relatie tussen het akoestische vermogen en het oppervlak van de geluidsbron wordt nu recht evenredig. Bij verdubbeling van het aantal drivers verdubbelt ook het akoestische vermogen. Het rendement, de verhouding tussen het akoestische vermogen en het elektrische vermogen, verandert niet meer.

Rekenvoorbeeld

Hieronder zal nu een praktisch voorbeeld worden gegeven, waarin duidelijk wordt dat de beperking van de stijging van het rendement al begint op te treden bij het samenvoegen van vier drivers (bijvoorbeeld zoals in de serie/parallelschakeling in het begin van dit artikel).

Stel we gaan uit van een woofer met een oppervlak van 500cm², dit is 0.05m². Deze woofer produceert bij 1W toegevoerd elektrisch vermogen op 1m afstand bij 100Hz een geluidsdruk van 86dB. In de appendix is bepaald dat 1W akoestisch vermogen overeenkomt met 109dB. De woofer geeft een geluidsdruk die 23dB lager is, dit betekent een factor 200. Het akoestische vermogen van 86dB komt dus overeen met 1/200W, het rendement van deze woofer is 0.5%.

Als we nu vier van deze woofers vlak bij elkaar plaatsen op een kubus, zodat we de afmetingen zo klein mogelijk houden, stijgt dan bij 100Hz het rendement tot 2%? Dit kan alleen indien het akoestische vermogen evenredig is met het oppervlak in het kwadraat. Vier woofers hebben vier maal zoveel oppervlak en zouden dus zestien maal toename in het akoestische vermogen moeten laten zien.

Hierboven is afgeleid dat

r_s = Z·S/(1+λ²/(πS)), daarmee wordt

P_ak = v²·Z·S/(1+λ²/(πS))

Bij 100Hz (golflengte 3.43m) en een oppervlak van 0.05m² levert dat

P_ak = v²·Z·0.000659

Indien het oppervlak viermaal zo groot wordt, krijgen we

P_ak = v²·Z·0.01014

Het vermogen is toegenomen met een factor 0.01014/0.000659=15.39, dit is net wat lager dan 16. Het rendement stijgt dus niet met 6dB tot 2%, maar met 5.85dB tot 1.92%.

Extra: bepaling van de uitslag van de woofer

Voor de volledigheid van het begrip en om alles te kunnen uitrekenen wat je maar wilt, wordt nu afgeleid wat de uitslag van de woofer was bij de geluidsdruk van 86dB. Daarvoor nemen we voor Z de waarde 413.2 (zie appendix). Dan is af te leiden dat

v² = P_ak/(Z·0.000659) = (1/200)/(413.2·0.000659) = 0.0184 → v = 0.136

v is de rms waarde van de snelheid, deze is afhankelijk van de frequentie (f) en de rms waarde van de uitslag (x) van de woofer bij een sinus van 100Hz.

v = ωx = 2πfx → x = v/(2πf) = 0.136/200π = 0.22mm → x_piek = 0.31mm

Appendix: Geluidsdruk in dB bij 1W akoestisch vermogen op 1m afstand

Wat is nu de geluidsdruk die hoort bij een akoestisch vermogen van 1W op 1m afstand van het centrum van een kleine bolvormige geluidsbron?

Uit de formule P_ak = p²·A/Z is af te leiden dat als P_ak gelijk is aan 1W, dat

p² = Z/A

Logaritmisch wordt dit uitgedrukt in het geluidsdruk niveau (L_p).

L_p = 10log₁₀(p²_rms/p²_ref) = 20log10(p_rms/p_ref), waarbij

p_ref het 0dB referentieniveau is en p_rms de rms waarde van de gemeten geluidsdruk.

p_ref in lucht is vastgesteld op de grens van hoorbaarheid en wordt over het algemeen gelijk genomen aan 20μPa (rms). Pascal (Pa) is de eenheid voor geluidsdruk en kan ook worden geschreven als N/m² (kracht per oppervlak).

Het oppervlak A wordt gegeven door 4πr². In dit geval is r = 1m, dus A = 4π. Op 1m afstand van de bron geldt dus

p² = Z/4π

Nu moeten we de akoestische impedantie Z nog weten. Die is in dit geval de karakteristieke impedantie van lucht (Z₀), die afhankelijk is van de temperatuur. In dit voorbeeld wordt uitgegaan van 25 graden Celcius, dan is Z₀ gelijk aan 413.2 en wordt de geluidsdruk gegeven door:

p² = 413.2/4π = 32.88 → p = 5.73

Logaritmisch wordt het dan:

L_p = 20log₁₀(5.73/0.00002) = 109dB

Hieruit volgt dat een kleine bolvormige luidspreker die bij 1W toegevoerd elektrisch vermogen op 1m afstand een geluidsdruk van 109dB produceert, een akoestisch vermogen van 1W produceert en een rendement van 100% heeft.